Deduksi alami adalah sistem logika yang menggunakan aturan inferensi untuk menurunkan kesimpulan dari premis secara sistematis. Aturan dasar dalam deduksi alami mencakup aturan introduksi dan aturan eliminasi untuk setiap operator logika. Berikut adalah beberapa aturan dasar dalam deduksi alami:

1. Konjungsi (∧)

• Introduksi konjungsi (∧ Introduction): Jika kita telah membuktikan dua proposisi $A$ dan $B$, kita dapat menyimpulkan $A ∧ B$.

  $$frac{A, B}{A ∧ B}$$

• Eliminasi konjungsi (∧ Elimination): Jika kita mengetahui $A ∧ B$, kita bisa mengekstrak salah satu bagian, baik $A$ atau $B$.

  $$frac{A ∧ B}{A} quad ext{atau} quad frac{A ∧ B}{B}$$

2. Disjungsi (∨)

• Introduksi disjungsi (∨ Introduction): Jika kita mengetahui bahwa $A$ benar, kita bisa menyimpulkan $A ∨ B$, tanpa perlu mengetahui apakah $B$ benar. Hal yang sama berlaku untuk $B$.

  $$frac{A}{A ∨ B} quad ext{atau} quad frac{B}{A ∨ B}$$

• Eliminasi disjungsi (∨ Elimination): Jika kita mengetahui $A ∨ B$, dan kita bisa menunjukkan bahwa baik $A$ atau $B$ mengarah ke $C$, maka kita dapat menyimpulkan $C$.

  $$frac{A ∨ B, A ightarrow C, B ightarrow C}{C}$$

3. Implikasi (→)

• Introduksi implikasi (→ Introduction) (atau aturan penarikan kesimpulan): Jika, dengan mengasumsikan $A$, kita dapat membuktikan $B$, maka kita bisa menyimpulkan $A ightarrow B$.

  $$frac{[A] vdash B}{A ightarrow B}$$

  (Asumsi $A$ ditunjukkan dalam kurung persegi untuk menandai bahwa ini adalah asumsi sementara yang dihapus ketika implikasi diperkenalkan)

• Eliminasi implikasi (→ Elimination) (atau modus ponens): Jika kita mengetahui $A ightarrow B$ dan $A$, maka kita dapat menyimpulkan $B$.

  $$frac{A ightarrow B, A}{B}$$

4. Negasi (¬)

• Introduksi negasi (¬ Introduction) (atau reduksi ke absurdum): Jika asumsi $A$ mengarah pada kontradiksi, kita dapat menyimpulkan $¬A$ (A salah).

  $$frac{[A] vdash ot}{¬A}$$

  (Simbol $ot$ menyatakan kontradiksi)

• Eliminasi negasi (¬ Elimination): Jika kita mengetahui $¬¬A$ (negasi ganda), maka kita bisa menyimpulkan $A$.

  $$frac{¬¬A}{A}$$

5. Biimplikasi (↔)

• Introduksi biimplikasi (↔ Introduction): Jika kita bisa membuktikan $A ightarrow B$ dan $B ightarrow A$, maka kita bisa menyimpulkan $A leftrightarrow B$.

  $$frac{A ightarrow B, B ightarrow A}{A leftrightarrow B}$$

• Eliminasi biimplikasi (↔ Elimination): Jika kita tahu $A leftrightarrow B$, maka kita bisa mengekstrak $A ightarrow B$ atau $B ightarrow A$.

  $$frac{A leftrightarrow B}{A ightarrow B} quad ext{atau} quad frac{A leftrightarrow B}{B ightarrow A}$$

6. Eksfalso (Contradiction)

• Eksfalso quodlibet (EFQ): Jika kita memiliki kontradiksi $ot$ (kesalahan logis atau kontradiksi eksplisit), kita dapat menyimpulkan proposisi apa pun dari kontradiksi tersebut.

  $$frac{ot}{A}$$

Aturan-aturan ini adalah dasar dalam deduksi alami, dan mereka memungkinkan kita untuk menyusun dan menyimpulkan argumen logis dengan cara yang sistematis.

Simak juga bagaimana pemakaian Modus Ponens dalam Deduksi Alami dan Modus Tollens dalam Deduksi Alami.

Terdapat Tiga Belas Aturan Dasar Deduksi Alami yang perlu benar-benar kita pahami agar dapat melakukan validasi argumen dengan metode Deduksi Alami.